Himpunan Fuzzy Teori dan implementasi serta contoh soal

Pada bilangan crips (himpunan tegas ), nilai dari keanggotaan suatu item x dalam suatu himpunan A, yang seringnya ditulis dengan μA[x], memiliki dua kemungkinan, yaitu:

• satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau
• nol (0), yang artinya bahwa suatu item tidak akan menjadi anggota didalam suatu himpunan.

Contoh :
Jika diketahui:
    S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ialah semesta pembicaraan.
    A = {1, 2, 3}
    B = {3, 4, 5}

Bisa dikatakan bahwa:
     Nilai keanggotaan 2 pada himpunan A, μA[2]=1, sebab 2∈A.
     Nilai keanggotaan 3 pada himpunan A, μA[3]=1, sebab 3∈A.
     Nilai keanggotaan 4 pada himpunan A, μA[4]=0, sebab 4∉A.
     Nilai keanggotaan 2 pada himpunan B, μB[2]=0, sebab 2∉B.
     Nilai keanggotaan 3 pada himpunan B, μB[3]=1, sebab 3∈B.

Misalkan variabel umur dibagi menjadi 3 kategori, yaitu:
               MUDA    umur < 35 tahun
               PAROBAYA    35 ≤ umur ≤ 55 tahun
               TUA    umur > 55 tahun

Nilai dari keanggotaan secara grafis dari himpunan MUDA, PAROBAYA dan TUA ini dapat dilihat pada gambar.

 Dari Gambar  diatas dapat dilihat bahwa:

• Jika seseorang berusia 34 tahun, maka dia dikatakan MUDA (μMUDA[34]=1);
• Jika seseorang berusia 35 tahun, maka dia dikatakan TIDAK MUDA (μMUDA[35]=0);
• Jika seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka dia dikatakan TIDAK MUDA (μMUDA[35 th -1hr]=0);
• Jika seseorang berusia 35 tahun, maka dia dikatakan PAROBAYA (μPAROBAYA[35]=1);
• Jika seseorang berusia 34 tahun, maka dia dikatakan TIDAK PAROBAYA (μPAROBAYA[34]=0);
• Jika seseorang berusia 35 tahun, maka dia dikatakan PAROBAYA (μPAROBAYA[35]=1);
• Jika seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka dia dikatakan TIDAK PAROBAYA (μPAROBAYA[35 th - 1 hr]=0);

      Dari sini dapat dikatakan bahwa pemakaian himpunan crisp (himpunan tegas) untuk menyatakan umur sangat tidak adil, adanya perubahan kecil saja pada suatu nilai dapat mengakibatkan perbedaan kategori yang cukup signifikan atau sangat jauh.

      Himpunan fuzzy dapat digunakan untuk mengantisipasi hal tersebut. Seseorang bisa masuk dalam 2 himpunan yang berbeda yaitu MUDA dan PAROBAYA atau PAROBAYA dan TUA, dan lain sebagainya. Lalu Seberapa besar eksistensinya dalam himpunan tersebut bisa dilihat pada nilai keanggotaannya. Gambar berikut  menunjukkan himpunan fuzzy untuk variabel umur.

Dari gambar diatas  dapat dilihat bahwa:

• orang yang sudah berumur 40 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan μMUDA[40]=0,25; akan tetapi dia juga dapat masuk kedalam himpunan PAROBAYA dengan μPABOBAYA[40]=0,5.
• orang yang berumur 50 tahun, termasuk kedalam himpunan MUDA dengan μTUA[50]=0,25; akan tetapi dia juga bisa masuk kedalam himpunan PAROBAYA dengan μPABOBAYA[50]=0,5.

      Pada himpunan crisp(himpunan tegas), nilai keanggotaan hanya ada dua kemungkinan, yaitu 0 atau 1, pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. jika x memiliki nilai keanggotaan fuzzy μA[x]=0 berarti x tidak akan menjadi anggota himpunan A, demikian pula apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy μA[x]=1 berarti x harus menjadi anggota penuh pada himpunan A.
      Kadang kemiripan antara keanggotaan fuzzy dengan probabilitas menimbulkan kerancuan. Keduanya memiliki nilai pada interval [0,1], namun interpretasi nilainya sangat berbeda antara kedua kasus tersebut. Keanggotaan fuzzy memberikan suatu ukuran terhadap pendapat atau keputusan, sedangkan probabilitas mengindikasikan proporsi terhadap keseringan suatu hasil bernilai benar dalam jangka panjang. Misalnya, jika nilai keanggotaan suatu himpunan fuzzy MUDA adalah 0,9; maka tidak perlu dipermasalahkan berapa seringnya nilai itu diulang secara individual untuk mengharapkan suatu hasil yang hampir pasti muda. Di lain pihak, nilai probabilitas 0,9 muda berarti 10% dari himpunan tersebut diharapkan tidak muda.

Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu:

1. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti: MUDA, PAROBAYA, TUA.
2. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti: 40, 25, 50, dsb.

Ada beberapa hal yang harus diketahui didalam memahami sistem fuzzy, yaitu:

• Variabel fuzzy

Variabel fuzzy ialah variabel yang hendak dibahas dalam suatu sistem fuzzy. Contoh: umur, temperatur, permintaan, dsb.

• Himpunan fuzzy

Himpunan fuzzy ialah suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy.
Contoh:

1. Variabel umur, terbagi menjadi 3 himpunan fuzzy, yaitu: MUDA, PAROBAYA, dan TUA.(gambar kedua diatas)
2. Variabel temperatur, terbagi menjadi 5 himpunan fuzzy, yaitu: DINGIN, SEJUK, NORMAL, HANGAT, dan PANAS.(gambar dibawah)

• Semesta Pembicaraan

     Semesta pembicaraan ialah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa bertambah  secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan bisa berupa bilangan positif maupun negatif. Adakalanya nilai dari semesta pembicaraan ini tidak dibatasi batas atasnya.
Contoh:

    Semesta pembicaraan untuk variabel umur: [0 +∞)

    Semesta pembicaraan untuk variabel temperatur: [0 40]

• Domain

     Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diijinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Seperti halnya semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif.

Contoh domain himpunan fuzzy: